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data.seq.computation

source
def computation (α : Type u) :
Type u

computation α is the type of unbounded computations returning α. An element of computation α is an infinite sequence of option α such that if f n = some a for some n then it is constantly some a after that.

Equations
source
def computation.return {α : Type u} (a : α) :
computation α

return a is the computation that immediately terminates with result a.

Equations
source
@[instance]
def computation.has_coe_t {α : Type u} :
has_coe_t α (computation α)

Equations
source
def computation.think {α : Type u} (c : computation α) :
computation α

think c is the computation that delays for one "tick" and then performs computation c.

Equations
source
def computation.thinkN {α : Type u} (c : computation α) (a : ℕ) :
computation α

thinkN c n is the computation that delays for n ticks and then performs computation c.

Equations
source
def computation.head {α : Type u} (c : computation α) :
option α

head c is the first step of computation, either some a if c = return a or none if c = think c'.

Equations
source
def computation.tail {α : Type u} (c : computation α) :
computation α

tail c is the remainder of computation, either c if c = return a or c' if c = think c'.

Equations
source
def computation.empty (α : Type u_1) :
computation α

empty α is the computation that never returns, an infinite sequence of thinks.

Equations
source
@[instance]
def computation.inhabited {α : Type u} :
inhabited (computation α)

Equations
source
def computation.run_for {α : Type u} (a : computation α) (a_1 : ℕ) :
option α

run_for c n evaluates c for n steps and returns the result, or none if it did not terminate after n steps.

Equations
source
def computation.destruct {α : Type u} (c : computation α) :
α ⊕ computation α

destruct c is the destructor for computation α as a coinductive type. It returns inl a if c = return a and inr c' if c = think c'.

Equations
source
meta def computation.run {α : Type u} (a : computation α) :
α

run c is an unsound meta function that runs c to completion, possibly resulting in an infinite loop in the VM.

source
theorem computation.destruct_eq_ret {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (a_1 : s.destruct = sum.inl a) :
s = computation.return a

source
theorem computation.destruct_eq_think {α : Type u} {s s' : computation α} (a : s.destruct = sum.inr s') :
s = s'.think

source
@[simp]
theorem computation.destruct_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).destruct = sum.inl a

source
@[simp]
theorem computation.destruct_think {α : Type u} (s : computation α) :
s.think.destruct = sum.inr s

source
@[simp]
theorem computation.destruct_empty {α : Type u} :
(computation.empty α).destruct = sum.inr (computation.empty α)

source
@[simp]
theorem computation.head_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).head = some a

source
@[simp]
theorem computation.head_think {α : Type u} (s : computation α) :
s.think.head = none

source
@[simp]
theorem computation.head_empty {α : Type u} :
(computation.empty α).head = none

source
@[simp]
theorem computation.tail_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).tail = computation.return a

source
@[simp]
theorem computation.tail_think {α : Type u} (s : computation α) :
s.think.tail = s

source
@[simp]
theorem computation.tail_empty {α : Type u} :
(computation.empty α).tail = computation.empty α

source
theorem computation.think_empty {α : Type u} :
computation.empty α = (computation.empty α).think

source
def computation.cases_on {α : Type u} {C : computation α → Sort v} (s : computation α) (h1 : Π (a : α), C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C s.think) :
C s

Equations
source
def computation.corec.F {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α ⊕ β) (a : α ⊕ β) :
option α × (α ⊕ β)

Equations
source
def computation.corec {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α ⊕ β) (b : β) :
computation α

corec f b is the corecursor for computation α as a coinductive type. If f b = inl a then corec f b = return a, and if f b = inl b' then corec f b = think (corec f b').

Equations
source
@[simp]
def computation.lmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (a : α ⊕ γ) :
β ⊕ γ

left map of ⊕

Equations
source
@[simp]
def computation.rmap {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : β → γ) (a : α ⊕ β) :
α ⊕ γ

right map of ⊕

Equations
source
@[simp]
theorem computation.corec_eq {α : Type u} {β : Type v} (f : β → α ⊕ β) (b : β) :
(computation.corec f b).destruct = computation.rmap (computation.corec f) (f b)

source
@[simp]
def computation.bisim_o {α : Type u} (R : computation α → computation α → Prop) (a a_1 : α ⊕ computation α) :
Prop

Equations
source
def computation.is_bisimulation {α : Type u} (R : computation α → computation α → Prop) :
Prop

Equations
source
theorem computation.eq_of_bisim {α : Type u} (R : computation α → computation α → Prop) (bisim : computation.is_bisimulation R) {s₁ s₂ : computation α} (r : R s₁ s₂) :
s₁ = s₂

source
def computation.mem {α : Type u} (a : α) (s : computation α) :
Prop

Equations
source
@[instance]
def computation.has_mem {α : Type u} :
has_mem α (computation α)

Equations
source
theorem computation.le_stable {α : Type u} (s : computation α) {a : α} {m n : ℕ} (h : m ≤ n) (a_1 : s.val m = some a) :
s.val n = some a

source
theorem computation.mem_unique {α : Type u} :
relator.left_unique has_mem.mem

source
@[class]
def computation.terminates {α : Type u} (s : computation α) :
Prop

terminates s asserts that the computation s eventually terminates with some value.

Equations
Instances
source
theorem computation.terminates_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (a_1 : a ∈ s) :
s.terminates

source
theorem computation.terminates_def {α : Type u} (s : computation α) :
s.terminates ↔ ∃ (n : ℕ), ↥((s.val n).is_some)

source
theorem computation.ret_mem {α : Type u} (a : α) :
a ∈ computation.return a

source
theorem computation.eq_of_ret_mem {α : Type u} {a a' : α} (h : a' ∈ computation.return a) :
a' = a

source
@[instance]
def computation.ret_terminates {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).terminates

source
theorem computation.think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (a_1 : a ∈ s) :
a ∈ s.think

source
@[instance]
def computation.think_terminates {α : Type u} (s : computation α) [s.terminates] :
s.think.terminates

source
theorem computation.of_think_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (a_1 : a ∈ s.think) :
a ∈ s

source
theorem computation.of_think_terminates {α : Type u} {s : computation α} (a : s.think.terminates) :
s.terminates

source
theorem computation.not_mem_empty {α : Type u} (a : α) :
a ∉ computation.empty α

source
theorem computation.not_terminates_empty {α : Type u} :
¬(computation.empty α).terminates

source
theorem computation.eq_empty_of_not_terminates {α : Type u} {s : computation α} (H : ¬s.terminates) :
s = computation.empty α

source
theorem computation.thinkN_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (n : ℕ) :
a ∈ s.thinkN n ↔ a ∈ s

source
@[instance]
def computation.thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) [s.terminates] (n : ℕ) :
(s.thinkN n).terminates

source
theorem computation.of_thinkN_terminates {α : Type u} (s : computation α) (n : ℕ) (a : (s.thinkN n).terminates) :
s.terminates

source
def computation.promises {α : Type u} (s : computation α) (a : α) :
Prop

promises s a, or s ~> a, asserts that although the computation s may not terminate, if it does, then the result is a.

Equations
  • s ~> a = ∀ ⦃a' : α⦄, a' ∈ s → a = a'
source
theorem computation.mem_promises {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (a_1 : a ∈ s) :
s ~> a

source
theorem computation.empty_promises {α : Type u} (a : α) :
computation.empty α ~> a

source
def computation.length {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
ℕ

length s gets the number of steps of a terminating computation

Equations
source
def computation.get {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
α

get s returns the result of a terminating computation

Equations
source
theorem computation.get_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s.get ∈ s

source
theorem computation.get_eq_of_mem {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (a_1 : a ∈ s) :
s.get = a

source
theorem computation.mem_of_get_eq {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (a_1 : s.get = a) :
a ∈ s

source
@[simp]
theorem computation.get_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s.think.get = s.get

source
@[simp]
theorem computation.get_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ℕ) :
(s.thinkN n).get = s.get

source
theorem computation.get_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s ~> s.get

source
theorem computation.mem_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (p : s ~> a) :
a ∈ s

source
theorem computation.get_eq_of_promises {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] {a : α} (a_1 : s ~> a) :
s.get = a

source
def computation.results {α : Type u} (s : computation α) (a : α) (n : ℕ) :
Prop

results s a n completely characterizes a terminating computation: it asserts that s terminates after exactly n steps, with result a.

Equations
source
theorem computation.results_of_terminates {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] :
s.results s.get s.length

source
theorem computation.results_of_terminates' {α : Type u} (s : computation α) [T : s.terminates] {a : α} (h : a ∈ s) :
s.results a s.length

source
theorem computation.results.mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} (a_1 : s.results a n) :
a ∈ s

source
theorem computation.results.terminates {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} (h : s.results a n) :
s.terminates

source
theorem computation.results.length {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} [T : s.terminates] (a_1 : s.results a n) :
s.length = n

source
theorem computation.results.val_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : ℕ} (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
a = b

source
theorem computation.results.len_unique {α : Type u} {s : computation α} {a b : α} {m n : ℕ} (h1 : s.results a m) (h2 : s.results b n) :
m = n

source
theorem computation.exists_results_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a ∈ s) :
∃ (n : ℕ), s.results a n

source
@[simp]
theorem computation.get_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).get = a

source
@[simp]
theorem computation.length_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).length = 0

source
theorem computation.results_ret {α : Type u} (a : α) :
(computation.return a).results a 0

source
@[simp]
theorem computation.length_think {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s.think.length = s.length + 1

source
theorem computation.results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} (h : s.results a n) :
s.think.results a (n + 1)

source
theorem computation.of_results_think {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} (h : s.think.results a n) :
∃ (m : ℕ), s.results a m ∧ n = m + 1

source
@[simp]
theorem computation.results_think_iff {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} :
s.think.results a (n + 1) ↔ s.results a n

source
theorem computation.results_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {m : ℕ} (n : ℕ) (a_1 : s.results a m) :
(s.thinkN n).results a (m + n)

source
theorem computation.results_thinkN_ret {α : Type u} (a : α) (n : ℕ) :
((computation.return a).thinkN n).results a n

source
@[simp]
theorem computation.length_thinkN {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] (n : ℕ) :
(s.thinkN n).length = s.length + n

source
theorem computation.eq_thinkN {α : Type u} {s : computation α} {a : α} {n : ℕ} (h : s.results a n) :
s = (computation.return a).thinkN n

source
theorem computation.eq_thinkN' {α : Type u} (s : computation α) [h : s.terminates] :
s = (computation.return s.get).thinkN s.length

source
def computation.mem_rec_on {α : Type u} {C : computation α → Sort v} {a : α} {s : computation α} (M : a ∈ s) (h1 : C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C s → C s.think) :
C s

Equations
source
def computation.terminates_rec_on {α : Type u} {C : computation α → Sort v} (s : computation α) [s.terminates] (h1 : Π (a : α), C (computation.return a)) (h2 : Π (s : computation α), C s → C s.think) :
C s

Equations
source
def computation.map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (a : computation α) :
computation β

Map a function on the result of a computation.

Equations
source
def computation.bind.G {α : Type u} {β : Type v} (a : β ⊕ computation β) :
β ⊕ computation α ⊕ computation β

Equations
source
def computation.bind.F {α : Type u} {β : Type v} (f : α → computation β) (a : computation α ⊕ computation β) :
β ⊕ computation α ⊕ computation β

Equations
source
def computation.bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → computation β) :
computation β

Compose two computations into a monadic bind operation.

Equations
source
@[instance]
def computation.has_bind  :
has_bind computation

Equations
source
theorem computation.has_bind_eq_bind {α β : Type u} (c : computation α) (f : α → computation β) :
c >>= f = c.bind f

source
def computation.join {α : Type u} (c : computation (computation α)) :
computation α

Flatten a computation of computations into a single computation.

Equations
source
@[simp]
theorem computation.map_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (a : α) :
computation.map f (computation.return a) = computation.return (f a)

source
@[simp]
theorem computation.map_think {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
computation.map f s.think = (computation.map f s).think

source
@[simp]
theorem computation.destruct_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
(computation.map f s).destruct = computation.lmap f (computation.rmap (computation.map f) s.destruct)

source
@[simp]
theorem computation.map_id {α : Type u} (s : computation α) :
computation.map id s = s

source
theorem computation.map_comp {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (f : α → β) (g : β → γ) (s : computation α) :
computation.map (g ∘ f) s = computation.map g (computation.map f s)

source
@[simp]
theorem computation.ret_bind {α : Type u} {β : Type v} (a : α) (f : α → computation β) :
(computation.return a).bind f = f a

source
@[simp]
theorem computation.think_bind {α : Type u} {β : Type v} (c : computation α) (f : α → computation β) :
c.think.bind f = (c.bind f).think

source
@[simp]
theorem computation.bind_ret {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
s.bind (computation.return ∘ f) = computation.map f s

source
@[simp]
theorem computation.bind_ret' {α : Type u} (s : computation α) :
s.bind computation.return = s

source
@[simp]
theorem computation.bind_assoc {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} (s : computation α) (f : α → computation β) (g : β → computation γ) :
(s.bind f).bind g = s.bind (λ (x : α), (f x).bind g)

source
theorem computation.results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} {m n : ℕ} (h1 : s.results a m) (h2 : (f a).results b n) :
(s.bind f).results b (n + m)

source
theorem computation.mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} (h1 : a ∈ s) (h2 : b ∈ f a) :
b ∈ s.bind f

source
@[instance]
def computation.terminates_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
(s.bind f).terminates

source
@[simp]
theorem computation.get_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [s.terminates] [(f s.get).terminates] :
(s.bind f).get = (f s.get).get

source
@[simp]
theorem computation.length_bind {α : Type u} {β : Type v} (s : computation α) (f : α → computation β) [T1 : s.terminates] [T2 : (f s.get).terminates] :
(s.bind f).length = (f s.get).length + s.length

source
theorem computation.of_results_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {b : β} {k : ℕ} (a : (s.bind f).results b k) :
∃ (a : α) (m n : ℕ), s.results a m ∧ (f a).results b n ∧ k = n + m

source
theorem computation.exists_of_mem_bind {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {b : β} (h : b ∈ s.bind f) :
∃ (a : α) (H : a ∈ s), b ∈ f a

source
theorem computation.bind_promises {α : Type u} {β : Type v} {s : computation α} {f : α → computation β} {a : α} {b : β} (h1 : s ~> a) (h2 : f a ~> b) :
s.bind f ~> b

source
@[instance]
def computation.monad  :
monad computation

Equations
source
@[instance]
def computation.is_lawful_monad  :
is_lawful_monad computation

source
theorem computation.has_map_eq_map {α β : Type u} (f : α → β) (c : computation α) :
f <$> c = computation.map f c

source
@[simp]
theorem computation.return_def {α : Type u} (a : α) :
return a = computation.return a

source
@[simp]
theorem computation.map_ret' {α β : Type u_1} (f : α → β) (a : α) :
f <$> computation.return a = computation.return (f a)

source
@[simp]
theorem computation.map_think' {α β : Type u_1} (f : α → β) (s : computation α) :
f <$> s.think = (f <$> s).think

source
theorem computation.mem_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) {a : α} {s : computation α} (m : a ∈ s) :
f a ∈ computation.map f s

source
theorem computation.exists_of_mem_map {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {b : β} {s : computation α} (h : b ∈ computation.map f s) :
∃ (a : α), a ∈ s ∧ f a = b

source
@[instance]
def computation.terminates_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) [s.terminates] :
(computation.map f s).terminates

source
theorem computation.terminates_map_iff {α : Type u} {β : Type v} (f : α → β) (s : computation α) :
(computation.map f s).terminates ↔ s.terminates

source
def computation.orelse {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
computation α

c₁ <|> c₂ calculates c₁ and c₂ simultaneously, returning the first one that gives a result.

Equations
source
@[instance]
def computation.alternative  :
alternative computation

Equations
source
@[simp]
theorem computation.ret_orelse {α : Type u} (a : α) (c₂ : computation α) :
(computation.return a <|> c₂) = computation.return a

source
@[simp]
theorem computation.orelse_ret {α : Type u} (c₁ : computation α) (a : α) :
(c₁.think <|> computation.return a) = computation.return a

source
@[simp]
theorem computation.orelse_think {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
(c₁.think <|> c₂.think) = (c₁ <|> c₂).think

source
@[simp]
theorem computation.empty_orelse {α : Type u} (c : computation α) :
(computation.empty α <|> c) = c

source
@[simp]
theorem computation.orelse_empty {α : Type u} (c : computation α) :
(c <|> computation.empty α) = c

source
def computation.equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
Prop

c₁ ~ c₂ asserts that c₁ and c₂ either both terminate with the same result, or both loop forever.

Equations
  • c₁ ~ c₂ = ∀ (a : α), a ∈ c₁ ↔ a ∈ c₂
source
theorem computation.equiv.refl {α : Type u} (s : computation α) :
s ~ s

source
theorem computation.equiv.symm {α : Type u} {s t : computation α} (a : s ~ t) :
t ~ s

source
theorem computation.equiv.trans {α : Type u} {s t u : computation α} (a : s ~ t) (a_1 : t ~ u) :
s ~ u

source
theorem computation.equiv.equivalence {α : Type u} :
equivalence computation.equiv

source
theorem computation.equiv_of_mem {α : Type u} {s t : computation α} {a : α} (h1 : a ∈ s) (h2 : a ∈ t) :
s ~ t

source
theorem computation.terminates_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) :
c₁.terminates ↔ c₂.terminates

source
theorem computation.promises_congr {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) (a : α) :
c₁ ~> a ↔ c₂ ~> a

source
theorem computation.get_equiv {α : Type u} {c₁ c₂ : computation α} (h : c₁ ~ c₂) [c₁.terminates] [c₂.terminates] :
c₁.get = c₂.get

source
theorem computation.think_equiv {α : Type u} (s : computation α) :
s.think ~ s

source
theorem computation.thinkN_equiv {α : Type u} (s : computation α) (n : ℕ) :
s.thinkN n ~ s

source
theorem computation.bind_congr {α : Type u} {β : Type v} {s1 s2 : computation α} {f1 f2 : α → computation β} (h1 : s1 ~ s2) (h2 : ∀ (a : α), f1 a ~ f2 a) :
s1.bind f1 ~ s2.bind f2

source
theorem computation.equiv_ret_of_mem {α : Type u} {s : computation α} {a : α} (h : a ∈ s) :
s ~ computation.return a

source
def computation.lift_rel {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
Prop

lift_rel R ca cb is a generalization of equiv to relations other than equality. It asserts that if ca terminates with a, then cb terminates with some b such that R a b, and if cb terminates with b then ca terminates with some a such that R a b.

Equations
source
theorem computation.lift_rel.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel (function.swap R) cb ca ↔ computation.lift_rel R ca cb

source
theorem computation.lift_eq_iff_equiv {α : Type u} (c₁ c₂ : computation α) :
computation.lift_rel eq c₁ c₂ ↔ c₁ ~ c₂

source
theorem computation.lift_rel.refl {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : reflexive R) :
reflexive (computation.lift_rel R)

source
theorem computation.lift_rel.symm {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : symmetric R) :
symmetric (computation.lift_rel R)

source
theorem computation.lift_rel.trans {α : Type u} (R : α → α → Prop) (H : transitive R) :
transitive (computation.lift_rel R)

source
theorem computation.lift_rel.equiv {α : Type u} (R : α → α → Prop) (a : equivalence R) :
equivalence (computation.lift_rel R)

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theorem computation.lift_rel.imp {α : Type u} {β : Type v} {R S : α → β → Prop} (H : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S a b) (s : computation α) (t : computation β) (a : computation.lift_rel R s t) :
computation.lift_rel S s t

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theorem computation.terminates_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {s : computation α} {t : computation β} (a : computation.lift_rel R s t) :
s.terminates ↔ t.terminates

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theorem computation.rel_of_lift_rel {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (a : computation.lift_rel R ca cb) {a_1 : α} {b : β} (a_2 : a_1 ∈ ca) (a_3 : b ∈ cb) :
R a_1 b

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theorem computation.lift_rel_of_mem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {a : α} {b : β} {ca : computation α} {cb : computation β} (ma : a ∈ ca) (mb : b ∈ cb) (ab : R a b) :
computation.lift_rel R ca cb

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theorem computation.exists_of_lift_rel_left {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : computation.lift_rel R ca cb) {a : α} (h : a ∈ ca) :
∃ {b : β}, b ∈ cb ∧ R a b

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theorem computation.exists_of_lift_rel_right {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (H : computation.lift_rel R ca cb) {b : β} (h : b ∈ cb) :
∃ {a : α}, a ∈ ca ∧ R a b

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theorem computation.lift_rel_def {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} :
computation.lift_rel R ca cb ↔ (ca.terminates ↔ cb.terminates) ∧ ∀ {a : α} {b : β}, a ∈ ca → b ∈ cb → R a b

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theorem computation.lift_rel_bind {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → computation γ} {f2 : β → computation δ} (h1 : computation.lift_rel R s1 s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → computation.lift_rel S (f1 a) (f2 b)) :
computation.lift_rel S (s1.bind f1) (s2.bind f2)

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel R (computation.return a) cb ↔ ∃ {b : β}, b ∈ cb ∧ R a b

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_return_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (b : β) :
computation.lift_rel R ca (computation.return b) ↔ ∃ {a : α}, a ∈ ca ∧ R a b

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_return {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (a : α) (b : β) :
computation.lift_rel R (computation.return a) (computation.return b) ↔ R a b

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel R ca.think cb ↔ computation.lift_rel R ca cb

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_think_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (ca : computation α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel R ca cb.think ↔ computation.lift_rel R ca cb

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theorem computation.lift_rel_mem_cases {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca : computation α} {cb : computation β} (Ha : ∀ (a : α), a ∈ ca → computation.lift_rel R ca cb) (Hb : ∀ (b : β), b ∈ cb → computation.lift_rel R ca cb) :
computation.lift_rel R ca cb

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theorem computation.lift_rel_congr {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} {ca ca' : computation α} {cb cb' : computation β} (ha : ca ~ ca') (hb : cb ~ cb') :
computation.lift_rel R ca cb ↔ computation.lift_rel R ca' cb'

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theorem computation.lift_rel_map {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type w} {δ : Type u_1} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : computation α} {s2 : computation β} {f1 : α → γ} {f2 : β → δ} (h1 : computation.lift_rel R s1 s2) (h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)) :
computation.lift_rel S (computation.map f1 s1) (computation.map f2 s2)

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theorem computation.map_congr {α : Type u} {β : Type v} (R : α → α → Prop) (S : β → β → Prop) {s1 s2 : computation α} {f : α → β} (h1 : s1 ~ s2) :
computation.map f s1 ~ computation.map f s2

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@[simp]
def computation.lift_rel_aux {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation α → computation β → Prop) (a : α ⊕ computation α) (a_1 : β ⊕ computation β) :
Prop

Equations
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@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_left {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation α → computation β → Prop) (a : α) (cb : computation β) :
computation.lift_rel_aux R C (sum.inl a) cb.destruct ↔ ∃ {b : β}, b ∈ cb ∧ R a b

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theorem computation.lift_rel_aux.swap {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation α → computation β → Prop) (a : α ⊕ computation α) (b : β ⊕ computation β) :
computation.lift_rel_aux (function.swap R) (function.swap C) b a = computation.lift_rel_aux R C a b

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@[simp]
theorem computation.lift_rel_aux.ret_right {α : Type u} {β : Type v} (R : α → β → Prop) (C : computation α → computation β → Prop) (b : β) (ca : computation α) :
computation.lift_rel_aux R C ca.destruct (sum.inl b) ↔ ∃ {a : α}, a ∈ ca ∧ R a b

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theorem computation.lift_rel_rec.lem {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : computation α → computation β → Prop) (H : ∀ {ca : computation α} {cb : computation β}, C ca cb → computation.lift_rel_aux R C ca.destruct cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) (a : α) (ha : a ∈ ca) :
computation.lift_rel R ca cb

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theorem computation.lift_rel_rec {α : Type u} {β : Type v} {R : α → β → Prop} (C : computation α → computation β → Prop) (H : ∀ {ca : computation α} {cb : computation β}, C ca cb → computation.lift_rel_aux R C ca.destruct cb.destruct) (ca : computation α) (cb : computation β) (Hc : C ca cb) :
computation.lift_rel R ca cb